Opintojaksosta vastaa fysikaalisten tieteiden kandiohjelma.

Matemaattiset apuneuvot I-III

Lisää tietoa käytettyjen tulosten perusteluista ja ominaisuuksista löytyy esimerkiksi matematiikan kurssilta Kompleksianalyysi I.

Opintojakson päätavoitteena on käydä läpi analyyttisten kompleksiarvoisten funktioiden määritelmä ja perusominaisuuksia, sekä kuinka näitä voidaan soveltaa erilaisten fysiikassa vastaan tulevien integraalien arvojen laskemisessa. Tämän lisäksi opintojakson aikana tutustutaan luku- ja funktiosarjojen ominaisuuksiin, mukaan lukien tärkeimpiä testejä, jotka takaavat sarjojen suppenemisen. Opituista tekniikoista keskeisimpiä ovat alkeisfunktioiden avulla määriteltyjen funktioiden kompleksiderivaattojen ja kompleksitason viivaintegraalien laskeminen, sekä näitä soveltavat Cauchyn lause ja residylause. Tavoitteena on myös pystyä tunnistamaan, milloin jokin annettu kuvaus on analyyttinen, sekä osata esittää se Taylorin tai Laurentin sarjakehitelmän avulla.

• Kompleksiluvut ja alkeisfunktioiden yleistäminen kompleksitasoon.
• Analyyttiset funktiot ja kompleksiderivaatta. Cauchyn ja Riemannin yhtälöt.
• Rationaali-, käänteis- ja yhdistetyt funktiot, sekä niiden derivoiminen.
• Viivaintegraalit kompleksitasossa. Kompleksiderivaatan integrointi.
• Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaavat analyyttisille funktioille. Näihin liittyen käydään läpi yleisempien yhdesti yhtenäisten alueiden tunnistamista.
• Lukusarjat ja näiden perusominaisuuksia. Geometrinen sarja. Lisämateriaalina työkaluja lukusarjan suppenemisen tarkistamiseksi (mm. Cauchyn ja d'Alembertin testit).
• Funktiosarjat ja näiden perusominaisuuksia. Potenssisarja, erityisesti analyyttisten funktioiden Taylorin ja Laurentin sarjat. Potenssisarjan suppenemissäde.
• Analyyttisen funktion erikoispisteet ja residylaskenta.

Kaikki pakollinen materiaali löytyy kurssimonisteesta. Vaihtoehtoinen kurssikirja englanniksi: G. Arfken & H.J. Weber: Mathematical Methods for Physicists (7th ed.), Elsevier Academic.

Lisämateriaalia:

• J. Honkonen: Fysiikan matemaattiset menetelmät I, 2. painos, Limes ry 2005.
• W. Rudin: Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1986 (luvut 10 ja 11 sisältävät matemaattiset todistukset kaikista kurssin perustuloksista).
• E. Kreyszig: Advanced engineering mathematics, Wiley 1993.
• T. Needham: Visual Complex Analysis, Clarendon Press, 1999.

Viikoittaiset luennot, opiskelijan itsenäinen työskentely, viikoittain palautettavat laskuharjoitukset, joita lasketaan osittain laskupajoissa assistenttien tuella pienryhmissä ja osittain itsenäisesti. Laskuharjoitukset palautetaan assistenteille jotka pisteyttävät ne. Kurssin kokonaistyömäärä on 135 tuntia.

Arvosanan määräytyminen (Fysiikan perusopetuksen pelisäännöt).

Kurssi suoritetaan joko arvosteltavaksi palautettavilla laskuharjoituksilla ja kurssikokeella tai vaihtoehtoisesti tentillä.