Kaisa_2012_3_photo by Veikko Somerpuro

Ilmoittaudu

Viestit

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 16.3.2018 klo 13:47

Hei!

14.3. järjestetyn kokeen tulokset on lisätty kurssisivun tulokset-osioon. Samassa taulukossa on myös harjoituspisteet. Tulokset näkyvät 6 kuukautta vain kurssin opiskelijoille (vaatii kirjautumisen).

Terveisin,
Esko

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 27.2.2018 klo 21:52

Hei!

JUKO ry, Pardia ry ja JHL ry toteuttavat lakon keskiviikkona 28.2.2018, joten opetus tältä päivältä on peruttu. Valitettavasti näin ollen myös Mitan viimeinen luento jää pitämättä. Luennoilla on ehditty käydä läpi kaikki kokeeseen tulevat asiat, mutta suosittelen tutustumaan omatoimisesti monisteen lopussa oleviin Fubinin lauseisiin.

Kiitos vielä kaikille kurssille osallistuneille ja onnea sekä menestystä tenttiin (muistakaa ilmoittautua) ja tuleviin opintoihin!

Terv. Esko H

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 21.2.2018 klo 15:04

Viimeisen viikon luennot pitää Emil Vuorinen.

Tehtävät-osioon on lisätty 7. harjoitukset. Nämä ovat ylimääräiset harjoitukset, jotka tulee palauttaa kirjallisena, jos niistä haluaa lisäpisteitä.

*****************

Emil Vuorinen will be the lecturer on the last week.

7th exercise set has been added to Tehtävät section. These are extra exercises that have to be returned if you wish to get extra points.

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 21.2.2018 klo 14:54

Kuudennella luentoviikolla saatiin maanantaina määriteltyä Lebesguen integraali mitallisille ei-negatiivisille funktioille ja keskiviikkona viimein mitallisille vaihtuvamerkkisille funktioille. Lisäksi todistimme erittäin tärkeät konvergenssitulokset, Monotonisen konvergenssin lauseen (L 3.25) sekä Fatoun lemman (L 3.30). Keskiviikon viimeinen asia oli majoranttiperiaate (L 3.38).

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 9.2.2018 klo 14:33

Neljännellä luentoviikolla mm. osoitettiin, että on olemassa ei-mitallinen reaalilukujen osajoukko sekä määriteltiin mitalliset kuvaukset. Viikon viimeisenä asiana todistettiin erittäin tärkeä mitallisuuden karakterisaatiolause, Lause 2.12, jonka nojalla funktion mitallisuus voidaan selvittää tutkimalla sopivien (rajoittamattomien) välien alkukuvien mitallisuutta.

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 9.2.2018 klo 14:34

Harjoitusten 3 tehtävään 3a) lisätty oletus $A \subset G$.

Kolmannella luentoviikolla tarkasteltiin esimerkkejä mitallisista joukoista sekä osoitettiin mm. että n-välin Lebesguen mitta on sama kuin geometrinen mitta. Jälkimmäisellä luentokerralla määriteltiin sigma-algebra sekä yleinen mitta-avaruus. Viimeisenä asiana osoitettiin mitan konvergenssitulos kasvavalle joukkojonolle (Lause 1.59).

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 24.1.2018 klo 16:09

Toisen viikon luennoilla keskeisin asia oli Lebesgue-mitalliset joukot ja Carathéodoryn ehto. Esimerkkinä osoitimme mm. että numeroituvat joukot ovat mitallisia ja nollamittaisia. Keskiviikon jälkimmäisellä luennolla saimme todistettua Lebesgue-mitallisten joukkojen peruslauseen, Lauseen 1.29, jonka nojalla mitallisten joukkojen numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset ovat mitallisia.

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 17.1.2018 klo 15:07

Ensimmäisen viikon luennoilla suurin osa ajasta käytettiin taustatietojen läpikäymiseen (Holopaisen moniste, luku 0). Keskiviikon luennoilla päästiin kuitenkin jo itse asiaan ja jälkimmäisellä tunnilla määriteltiin Lebesguen n-ulotteinen ulkomitta (Holopaisen moniste, Määritelmä 1.3 + Huomautus 1.4).

Harjoitusryhmät alkavat ensi viikolla.

Käyttäjän Esko Heinonen kuva

Esko Heinonen

Julkaistu, 12.1.2018 klo 9:42

Tervetuloa kevään 2018 kurssille Mitta ja integraali! Luennot alkavat maanantaina 15.1. ja laskuharjoitusryhmät seuraavalla viikolla, eli 22.1. alkaen.

Aikataulu

Tästä osiosta löydät kurssin opetusaikataulun. Tarkista mahdolliset muut aikataulut kuvauksesta.

PäivämääräAikaOpetuspaikka
Ma 15.1.2018
14:15 - 15:45
Ke 17.1.2018
10:15 - 11:45
Ma 22.1.2018
14:15 - 15:45
Ke 24.1.2018
10:15 - 11:45
Ma 29.1.2018
14:15 - 15:45
Ke 31.1.2018
10:15 - 11:45
Ma 5.2.2018
14:15 - 15:45
Ke 7.2.2018
10:15 - 11:45
Ma 12.2.2018
14:15 - 15:45
Ke 14.2.2018
10:15 - 11:45
Ma 19.2.2018
14:15 - 15:45
Ke 21.2.2018
10:15 - 11:45
Ma 26.2.2018
14:15 - 15:45
Ke 28.2.2018
10:15 - 11:45

Muu opetus

15.01. - 26.02.2018 Ma 10.15-12.00
Opetuskieli: suomi
16.01. - 27.02.2018 Ti 10.15-12.00
Opetuskieli: suomi
15.01. - 26.02.2018 Ma 12.15-14.00
Opetuskieli: suomi

Materiaalit

Luennoilla seurataan Ilkka Holopaisen luentomuistiinpanoja (Holopainen - Mitta ja integraali). Lisäksi suosittelen lukemaan Anssi Mirkan versiota (Mirka - Mitta ja integraali) sekä Tuomas Hytösen luentomuistiinpanoja (Hytönen - Mitta ja integraali).

Tehtävät

Harjoitus 1 (22.-23.1.)

Harjoitus 2 (29.-30.1.)

Harjoitus 3 (5.-6.2.)

Harjoitus 4 (12.-13.2.)

Harjoitus 5 (19.-20.2.)

Harjoitus 6 (26.-27.2.)

Harjoitus 7 (ylim. harjoitus, palautus viim. 9.3. klo 15)

Kurssin suorittaminen

Kurssi suoritetaan erilliskokeella, johon tulee ilmoittautua erikseen WebOodissa viimeistään 10 päivää ennen koetta. Ensimmäinen mahdollinen tentti on 14.3.2018

Kokeessa on 5 tehtävää (6p/tehtävä). Laskuharjoituksia tekemällä on mahdollista saada kokeeseen lisäpisteitä seuraavasti:
25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p

Kuvaus

Opintojakso Mitta ja integraali on pakollinen matematiikan aineopintokurssi Matemaattisten tieteiden kandiohjelman opintokokonaisuudessa MAT210 (Matematiikan aineopinnot). Opintojakso on myös vaihtoehtoinen opintojakso muiden tieteenalojen opiskelijoille opintokokonaisuuksissa MAT211, MAT213, MAT010 sekä MAT011.

Opintojakson esitiedoiksi oletetaan Matematiikan perusopinnot (MAT110) tai vastaavat tiedot, sekä opintojaksot Topologia IA ja IB, Sarjat sekä Vektorianalyysi I.

Vektorianalyysi II

Opiskelija hallitsee opintojakson suoritettuaan mitta- ja integroimisteorian perusteet, kuten mitalliset joukot ja kuvaukset sekä integraalilaskennan konvergenssilauseet.

Opintojakso suositellaan matematiikan aineopinnoissa suoritettavaksi kolmannen opintovuoden keväällä.

Opintojakso järjestetään vuosittain kevätlukukaudella 3. periodissa.

Opintojaksolla tutustutaan aluksi mittateorian keskeisiin käsitteisiin kuten mitta ja ulkomitta, mitalliset joukot ja funktiot. Erityisesti perehdytään Lebesguen mittaan. Tämän jälkeen kehitetään (Lebesguen) integraalin teoriaa, jossa keskeisenä ovat konvergenssilauseet (monotonisen konvergenssin lause, Fatoun lemma sekä dominoidun konvergenssin lause). Fubinin lauseet käsitellään luennoilla varsin lyhyesti (ilman todistuksia).

Kurssimateriaali ( = luentomuistiinpanot, harjoitustehtävät ja niiden ratkaisut) on opintojakson kotisivulla.

Keskeistä on luennoille osallistuminen ja erityisesti laskuharjoitustehtävien pohtiminen ja ratkaiseminen joko yksin tai varsinkin yhteistyössä muiden opiskelijoiden kanssa.

Opintojakso suoritetaan erilliskokeella ja se arvostellaan kokeesta saatujen pisteiden ja laskuharjoitusten lisäpisteiden avulla.

The course is lectured only in Finnish, but it's possible to complete the course in general exam.

Information in English:

The course "Mitta ja integraali" (measure and integral) provides basics on the general measure theory and on the Lebesgue integral.

The content:

Background

- basic operations on sets

- countable and uncountable sets

- Euclidean space

Lebesgue measure

- Lebesgue outer measure

- (Lebesgue) measurable sets

- general measure theory

- convergence of measures

- non-measurable set

Measurable mappings

Lebesgue integral

- simple functions

- non-negative measurable functions

- convergence results (Monotone convergence theorem, Fatou's lemma)

- integrable functions

- Dominated convergence theorem.

The lecture notes in English:

https://wiki.helsinki.fi/pages/viewpage.action?pageId=197658161&preview=/197658161/210430896/MeasInt17.pdf

Opintojakso koostuu viikottaisista luennoista ja laskuharjoituksista sekä itsenäisestä työskentelystä. Opintojakso suoritetaan erilliskokeella.