Kaisa_2012_3_photo by Veikko Somerpuro

Kurssi Topologia IB jatkaa metristen avaruuksien tutkimista kurssista Topologia IB. Tutustuimme erityisesti matemaattisen analyysin monien sovellusten kannalta hyvin keskeisiin käsitteisiin, kuten täydellisiin avaruuksiin, kompaktiuuteen ja yhtenäisyyteen.
Esitiedot: käsitteet raja-arvo ja jatkuva funktio kursseista MAT11003 Raja-arvot ja MAT11004 Differentiaalilaskenta, euklidinen avaruus R^n lineaarialgebran kursseista., sekä kurssin Topologia IA peruskäsitteet: metrinen avaruus, avoimet ja suljetut joukot, ja jatkuvat kuvaukset metristen avaruuksien välillä.
Kurssi Topologia IB on pakollinen matematiikan aineopintokurssi Matemaattisten tieteiden kandiohjelmassa MAT210 sekä vaihtoehtoinen opintojakso muiden tieteenalojen opiskelijoille opintokokonaisuuksissa MAT211, MAT213, MAT010 sekä MAT011.
HUOMAUTUS: tiedottaminen kurssin uusista järjestelyistä ja kurssin materiaali on siirtynyt uudelle Moodle-sivulle (linkki alla).

Ilmoittaudu
Moodle
Kirjaudu sisään nähdäksesi Moodlen kurssiavaimen.

Viestit

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 23.3.2020 klo 20:42

Maanantain 23.3 luento on nyt linkitetty Moodle-sivulle. Ohjauskeskustelussa on annettu joitakin lisävihjeitä Harjoituksen 2 tehtäviin.

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 20.3.2020 klo 11:23

Torstain 19.3 korvaavan luennon nauhoitus ei ole vielä saatavana (ongelmaa selvitetään). Luento linkitetään Moodle-sivulle kun nauha valmistuu. Luennon muistinpanot on kuitenkin linkitetty Moodle-sivulle (viikko 2).

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 17.3.2020 klo 18:37

Yliopiston poikkeustilan takia kurssin Topologia IB opetus on siirtynyt verkkopohjaiseksi alkaen 16.3.2020. Tarkempaa tietoa uusista järjestelyistä löytyy kurssin uudelta opetuksen Moodle-sivulta (myös ohessa),
https://moodle.helsinki.fi/course/view.php?id=38580
johon kurssin asiat pääosin siirtyvät. Moodle-sivustolle on pääsy kaikilla kurssille ilmoittautuneilla (tarkista pääsy).

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 16.3.2020 klo 16:50

Maanantain 16.3 luento nauhoitettiin ja linkkiosoite ilmoitetaan kun lähetys on käsitelty (tässä useiden tuntien viive).
Luentopäiväkirjassa päivittyy lista kurssin etenemisestä. Kokeilunomaisesti myös 16.3 olevan luennon siistityt käsinkirjoitetut luentomuistinpanot on lisätty Tehtävät-osioon. Tämä oli lähinnä testi kuinka työlästä on tuottaa virallisia muistinpanoja.
Tiistain 17.3 luento klo 10-12 SIIRRETÄÄN osaston henkilökunnan opastustilaisuuksien takia. KORVAAVA LUENTO: TORSTAINA klo 14-16 salissa B123. Luento on seurattavissa sekä live-stream muodossa että jälkinauhoituksena.
Laskuharjoitusten järjestelyistä ilmoitetaan kunhan ne selviävät.

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 17.3.2020 klo 17:08

Maanantaina 16.3 klo 10-12: luennon on tarkoitus esittää live-striimina sekä nauhoittaa jälkikatseltavaksi.
Live-stream tulee Exactumin Torvalds-salilta B123, linkki
http://video.helsinki.fi/unitube/live-stream.html?room=l10
Nauhoituksen pitäisi olla katseltavana maanantaina 16.3 iltapäivällä (linkki ilmoitetaan silloin).

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 13.3.2020 klo 19:46

Yliopiston poikkeustilan takia osasto siirtyy verkko-opetukseen. Kurssin Topologia IB osalta tämä tarkoittaa:
- luennoista on jatkossa tulossa sekä live-stream (salilta B123) että nauhoitettu versio. Tarkoituksena on pitää kiinni ilmoitetuista luentoajoista.
- siirtymäviikolla 16.3-20.3 luento maanantaina 16.3 klo 10-12 on teknologian osalta "harjoittelukappale", eli teknisiä ongelmia saattaa esiintyä (koska luennoilla on ollut vähemmän kuin 50 henkilöä, saa toki halutessa 16.3 tulla paikalle saliin B123). Tiistain luento 17.3 klo 10-12 korvataan myöhemmin ilmoitettavalla ajankohdalla osaston opettajien tiedotus- ja opastustilaisuuksien takia.
- kontaktipohjaisista laskuharjoituksista luovutaan, ja kurssille perustetaan Moodle-sivu, johon viikottaiset laskuharjoitustehtävät palautetaan. Moodle-sivulla on myös päivystystä, ja tehtävistä voi kysyä neuvoa. Kurssien Moodle-sivut luodaan tiistaina 17.3, ja palautusten aikarajoista ja muista käytännön järjestelyistä tiedotetaan sen jälkeen.
Viestit-osioon tule kurssin tarkempia ohjeita kunhan ne selviävät.

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 12.3.2020 klo 19:03

Harjoitus 1 (viikolle 16.3-20.3) on nyt lisätty Tehtävät-osoioon.

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 9.3.2020 klo 19:49

Suppea lista luennoilla käsitellyistä asioista ja kurssin viikottaisesta etenemisestä löytyy kurssisivun Luentopäiväkirja-osiosta.

Käyttäjän Hans-Olav Tylli kuva

Hans-Olav Tylli

Julkaistu, 8.3.2020 klo 20:53

Kurssi Topologia IB alkaa maanantaina 9.3.2020 klo 10 salisssa B123. Käytännön järjestelyt säilyvät samoina kurssista Topologia 1A, eli laskuharjoituksista saa lisäpisteitä saman kaavan mukaan ja Ratkomo-tyyppinen ohjaus on tarjolla tiistaisin klo 16-18 salissa C322. Kurssisivulle linkitetään myös kurssipäiväkirja, josta voi tarkistaa luennoilla käsitellyt kohdat.
Laskuharjoitukset alkavat viikolla 12 (eli 16.3-20.3). Laskuharjoitusryhmien ajat säilyvät samoina, mutta niiden numerointi muuttuu.

Vuorovaikutus

Aikataulu

Tästä osiosta löydät kurssin opetusaikataulun. Tarkista mahdolliset muut aikataulut kuvauksesta.

PäivämääräAikaOpetuspaikka
Ma 9.3.2020
10:15 - 12:00
Ti 10.3.2020
10:15 - 12:00
Ma 16.3.2020
10:15 - 12:00
Ti 17.3.2020
10:15 - 12:00
Ma 23.3.2020
10:15 - 12:00
Ti 24.3.2020
10:15 - 12:00
Ma 30.3.2020
10:15 - 12:00
Ti 31.3.2020
10:15 - 12:00
Ma 6.4.2020
10:15 - 12:00
Ti 7.4.2020
10:15 - 12:00
Ma 20.4.2020
10:15 - 12:00
Ti 21.4.2020
10:15 - 12:00
Ma 27.4.2020
10:15 - 12:00
Ti 28.4.2020
10:15 - 12:00

Muu opetus

13.03. - 03.04.2020 Pe 12.15-14.00
17.04. - 24.04.2020 Pe 12.15-14.00
Opetuskieli: suomi
11.03. - 08.04.2020 Ke 12.15-14.00
22.04. - 29.04.2020 Ke 12.15-14.00
Opetuskieli: suomi
12.03. - 02.04.2020 To 14.15-16.00
16.04. - 30.04.2020 To 14.15-16.00
Opetuskieli: suomi

Materiaalit

Kurssi MAT21005 Topologia IB perustuu kurssimonisteeseen
Jussi Väisälä: "Topologia I" (Limes ry, 2007), lukuihin 7 sekä 9-14.
Opintojaksolla syvennytään metristen avaruuksien ominaisuuksiin ja sovelluuksissa tarvittaviin käsitteisiin: - relatiivitopologia - homeomorfismit ja metriikkojen ekvivalenssi - pistejonojen raja-arvo metrisissa avaruuksissa - täydellinen avaruus ja tasainen jatkuvuus - kompaktit joukot - yhtenäisyys.

Tehtävät

Harjoitus 1 (viikolle 16.3-20.3)

Luentomuistinpanot 16.3.

Luentopäiväkirja

Luento 9.3.: Käytännön järjestelyistä (muistutus). Relatiivisesti avoimet ja suljetut joukot (monisteessa oleellisesti 7.1-7.9), esimerkki.
Luento 10.3.: Homeomorfismin käsite, useita esimerkkejä (monisteessa 9.1-9.4). Muistutus kuvauksista: bijektiot ja käänteiskuvaus (0-luvusta: kohdat 0.9 - 0.14).
Luento 16.3: homeomorfismien perusominaisuudet (monistessa 9.7-9.11; 9.13-9.14), upotus ja bilipschitz-kuvaukset (9.5, 9.18-9.19); esimerkkejä. Luennoijan muistinpanot on linkitetty Tehtävät-osioon (kokeilu)
Luento 19.3: (luku 10) Metriikkojen (topologinen) ekvivalenssi ja bilipschitz-ekvivalenssi. Esimerkkejä. Jokainen metriikka on ekvivalentti rajoitetun metriikan kanssa (10.6-10.7).
Luento 23.3: (luku 11) pistejonon suppeneminen ja esimerkkejä, raja-arvon 1-käsitteisyys. Sovelluksia: joukon sulkeuma suppenevien pistejonojen avulla (11.6), pistejonokriteeri kuvauksen jatkuvuudelle (11.8)
Luento 24.3: euklidisen avaruuden vektorijonon suppeneminen (11.11) ja esimerkki. Normiavaruuden jonojen suppeneminen (11.13). Annetun jonon osajonot ja kasautumisarvot (11.14-11.19)
Luento 30.3: (luku 12) metrisen avaruuden Cauchy-jono, täydellinen metrinen avaruus, R ja euklidinen avaruus R^n ovat täydellisiä (12.1-12.6); kontraktio ja esimerkkejä
Luento 31.3: kiintopiste; Banachin kiintopistelauseen todistus ja esimerkkejä (12.8-12.10)
Luento 6.4: (luku 12) Tasainen jatkuvuus ja esimerkkejä (12.11-12.14). Luku 13: kompakti metrinen avaruus ja enimmäiset esimerkit; Lemma 13.3 ja Bolzano-Weierstrassin lause R:ssä; suljettu ja rajoitettu väli [a,b] on kompakti R:ssä
Luento 7.4: kompakti joukko on suljettu ja rajoitettu (13.6-13.8); Heine-Borelin lause 13.14: A on kompakti R^n:ssä joss A on suljettu ja rajoitettu joukko, esimerkkejä; yleinen Bolzano-Weierstrass 13.17; kompaktisuus säilyy jatkuvassa kuvauksessa ja sovelluksia (13.18-13.19)
Luento 20.4: minmax-lause ja todistus (13.21); esimerkkejä ja sovelluksia (13.22-13.23); kompaktin joukon homeomorfisuusehto (13.25-13.26); kompaktissa avaruudessa jatkuva kuvaus on tasaisesti jatkuva (monisteessa 13.36, luennolla eri todistus osajonojen avulla)
Luento 21.4: Avoimet peitteet ja osapeitteet, Lebesguen peitelause; joukko A on kompakti jos ja vain jos A:n jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite (13.31-13.33; 13.38-13.39)
Luento 27.4: (luku 14) Yhtenäinen avaruus ja joukko; epäyhtenäisyys: ekvivalentit muotoilut 14.7 ja 14.9; 14.11: jos E yhtenäinen, niin E:n sulkeuma on yhtenäinen; topologin sinikäyrä (vrt. 14.24); yhdisteet ja yhtenäisyys (14.12)
Luento 28.4: reunanylityslause (14.13); reaalisuoran yhtenäiset osajoukot (14.15); yhtenäisyys säilyy jatkuvissa kuvauksissa (14.16) ja sovellusesimerkkejä; yleistetty Bolzanon lause (14.19); polkuyhtenäisyys ja esimerkkejä (14.21 ja 14.23)

Kuvaus

Opintojakso Topologia IB on pakollinen matematiikan aineopintokurssi Matemaattisten tieteiden kandiohjelman opintokokonaisuudessa MAT210 (Matematiikan aineopinnot). Opintojakso on myös vaihtoehtoinen opintojakso muiden tieteenalojen opiskelijoille opintokokonaisuuksissa MAT211, MAT213, MAT010 sekä MAT011.

Opintojakson esitiedoiksi oletetaan opintojakso Matematiikan perusopinnot (MAT110) tai vastaavat tiedot, sekä Topologia IA.

Opintojakson suositeltavia esitietoja ovat Sarjat (MAT57119) sekä Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II (MAT57047).

Opiskelija hallitsee kurssin suoritettuaan metrisen topologian peruskäsitteet ja -tulokset. Opiskelija osaa soveltaa topologisia menetelmiä muiden matematiikan alojen kysymyksiin.

Opintojakso suositellaan matematiikan aineopinnoissa suoritettavaksi toisen opintovuoden keväällä.

Opintojakso järjestetään vuosittain kevätlukukaudella 4. periodissa.

Opintojaksolla käsitellään metristen avaruuksien topologian peruskäsitteitä. Opintojaksolla käsiteltäviä asioita ovat tuloavaruudet sekä metrisen avaruuden ominaisuudet täydellisyys, kompaktius ja yhtenäisyys. Lisäksi tutustutaan homeomorfisuuden käsitteeseen.

Opintojakson materiaalina käytetään kirjaa J. Väisälä "Topologia I" (Limes ry.)

Opintojakson suorittaminen vaatii opintojakson säännöllistä seuraamista luennoille osallistumalla ja viikoittaisia harjoituksia tekemällä. Harjoitustehtävien ratkaisemiseen saa tukea Ratkomosta.

Kurssi arvioidaan loppukokeella. Loppukokeen pisteisiin vaikuttaa harjoituksista saatavat lisäpisteet.

Opintojakso koostuu viikottaisista luennoista ja laskuharjoituksista sekä itsenäisestä työskentelystä.