Opetus

Nimi Op Opiskelumuoto Aika Paikkakunta Järjestäjä
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 5.2.2020 - 5.2.2020
Mitta ja integraali 5 Cr Luentokurssi 9.3.2020 - 30.4.2020
Mått och integrationsteori 5 Cr Luentokurssi 10.3.2020 - 29.4.2020
Mitta ja integraali 5 Cr Kurssitentti 5.5.2020 - 5.5.2020
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 20.5.2020 - 20.5.2020
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 5.8.2020 - 5.8.2020
Nimi Op Opiskelumuoto Aika Paikkakunta Järjestäjä
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 11.12.2019 - 11.12.2019
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 7.8.2019 - 7.8.2019
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 12.6.2019 - 12.6.2019
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 22.5.2019 - 22.5.2019
Mitta ja integraali 5 Cr Kurssitentti 7.5.2019 - 7.5.2019
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 3.4.2019 - 3.4.2019
Mitta ja integraali 5 Cr Luentokurssi 12.3.2019 - 3.5.2019
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 6.2.2019 - 6.2.2019
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 12.12.2018 - 12.12.2018
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 19.9.2018 - 19.9.2018
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 8.8.2018 - 8.8.2018
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 13.6.2018 - 13.6.2018
Mitta ja integraali-kesä 5 Cr Luentokurssi 15.5.2018 - 15.6.2018
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 11.4.2018 - 11.4.2018
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 14.3.2018 - 14.3.2018
Mitta ja integraali 5 Cr Luentokurssi 15.1.2018 - 28.2.2018
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 13.12.2017 - 13.12.2017
Mitta ja integraali 5 Cr Yleinen tentti 20.9.2017 - 20.9.2017

Kohderyhmä

Opintojakso Mitta ja integraali on pakollinen matematiikan aineopintokurssi Matemaattisten tieteiden kandiohjelman opintokokonaisuudessa MAT210 (Matematiikan aineopinnot). Opintojakso on myös vaihtoehtoinen opintojakso muiden tieteenalojen opiskelijoille opintokokonaisuuksissa MAT211, MAT213, MAT010 sekä MAT011.

Edeltävät opinnot tai edeltävä osaaminen

Opintojakson esitiedoiksi oletetaan Matematiikan perusopinnot (MAT110) tai vastaavat tiedot, sekä opintojaksot Topologia IA ja IB, Sarjat sekä Vektorianalyysi I.

Osaamistavoitteet

Opiskelija hallitsee opintojakson suoritettuaan mitta- ja integroimisteorian perusteet, kuten mitalliset joukot ja kuvaukset sekä integraalilaskennan konvergenssilauseet.

Ajoitus

Opintojakso suositellaan matematiikan aineopinnoissa suoritettavaksi kolmannen opintovuoden keväällä.

Opintojakso järjestetään vuosittain kevätlukukaudella.

Sisältö

Opintojaksolla tutustutaan aluksi mittateorian keskeisiin käsitteisiin kuten mitta ja ulkomitta, mitalliset joukot ja funktiot. Erityisesti perehdytään Lebesguen mittaan. Tämän jälkeen kehitetään (Lebesguen) integraalin teoriaa, jossa keskeisenä ovat konvergenssilauseet (monotonisen konvergenssin lause, Fatoun lemma sekä dominoidun konvergenssin lause). Fubinin lauseet käsitellään luennoilla varsin lyhyesti (ilman todistuksia).

Oppimista tukevat aktiviteetit ja opetusmenetelmät

Keskeistä on luennoille osallistuminen ja erityisesti laskuharjoitustehtävien pohtiminen ja ratkaiseminen joko yksin tai varsinkin yhteistyössä muiden opiskelijoiden kanssa.

Oppimateriaali

Kurssimateriaali ( = luentomuistiinpanot, harjoitustehtävät ja niiden ratkaisut) on opintojakson kotisivulla.

Arviointimenetelmät ja -kriteerit

Opintojakso suoritetaan erilliskokeella ja se arvostellaan kokeesta saatujen pisteiden ja laskuharjoitusten lisäpisteiden avulla.

Suositeltavat valinnaiset opinnot

Vektorianalyysi II

Lisätiedot

The course is lectured only in Finnish, but it's possible to complete the course in general exam.

Information in English:

The course "Mitta ja integraali" (measure and integral) provides basics on the general measure theory and on the Lebesgue integral.

The content:

Background

- basic operations on sets

- countable and uncountable sets

- Euclidean space

Lebesgue measure

- Lebesgue outer measure

- (Lebesgue) measurable sets

- general measure theory

- convergence of measures

- non-measurable set

Measurable mappings

Lebesgue integral

- simple functions

- non-negative measurable functions

- convergence results (Monotone convergence theorem, Fatou's lemma)

- integrable functions

- Dominated convergence theorem.

The lecture notes in English:

https://wiki.helsinki.fi/pages/viewpage.action?pageId=197658161&preview=/197658161/210430896/MeasInt17.pdf

Toteutus

Opintojakso koostuu viikottaisista luennoista ja laskuharjoituksista sekä itsenäisestä työskentelystä. Opintojakso suoritetaan erilliskokeella.