Kaisa_2012_3_photo by Veikko Somerpuro

Ilmoittaudu

Viestit

Käyttäjän Ville Tengvall kuva

Ville Tengvall

Julkaistu, 4.2.2019 klo 20:27

Hei,

vektorianalyysi II:n yleisen tentin 9.1.2019 tulokset ja ratkaisuehdotukset löytyvät nyt kurssisivulta.

Tarkastakaa, että harjoituksista saamanne hyvitykset on laskettu oikein. Lähetän tulokset rekisteriin huomenna klo 13:00 maissa. Ottakaa minuun yhteyttä ennen tätä, jos pisteiden laskemisessa esiintyy epäselvyyksiä. Tuloksien korjaaminen onnistuu varmasti määräajan jälkeenkin, mutta silloin se on vain hitaampaa.

Terveisin
Ville

Käyttäjän Ville Tengvall kuva

Ville Tengvall

Julkaistu, 4.1.2019 klo 15:28

Hei,

joulukuun 17.12.2018 tentin ratkaisuehdotukset on lisätty kurssisivulle välilehden ''Materiaalit'' alle.

Lisäksi 9.1.2019 tenttiin osallistujille tiedoksi:

Harjoituksien lisäpisteet ovat voimassa myös 9.1.2019 tentissä (tämä pätee myös tentin uusijoita). Tentissä ei saa käyttää laskinta.

Lisäksi, vaikka kyseessä onkin yleinen tentti, niin tenttiaika tulee olemaan 2h 30min. Mainitsin kurssin alussa, että pyrin tasapäistämään joulukuun ja tammikuun tentit tavalla tai toisella. Vaihtoehtoina oli
1) asettaa tenteille sama aikaraja,
2) tehdä toisesta tentistä vaikeampi tai
3) olla ankarampi toista tenttiä arvioitaessa.
Päädyin ensimmäiseeen vaihtoehtoon.

Onnea tammikuun tenttiin!

Terveisin
Ville

Käyttäjän Ville Tengvall kuva

Ville Tengvall

Julkaistu, 20.12.2018 klo 20:11

Hei,

Vektorianalyysi II:n joulukuun tentin tulokset löytyvät nyt kurssisivulta. Tarkistakaa tulosluettelosta erityisesti, että harjoituksien lisäpisteet on laskettu oikein. Jos löydätte pisteiden laskusta korjattavaa, niin ottakaa minuun viipymättä yhteyttä. Lähetän tulokset huomenna klo 18:00 rekisteriin, minkä jälkeen arvosanan mahdollinen korjaaminen on paljon hitaampaa.

Hyvää joulua!
Ville

Käyttäjän Ville Tengvall kuva

Ville Tengvall

Julkaistu, 8.12.2018 klo 17:15

Hei,

harjoituksien 6 tehtävästä 5 oli löytynyt iso painovirhe. Virhe on nyt korjattu ja kannattaa käydä katsomassa oikea tehtävänanto, sillä muuten tehtävän tekeminen saattaa aiheuttaa harmaita hiuksia.

Pahoittelen painovirhettä, minulla oli mennyt muuttujat x_3 ja (x_1^2+x_2^2)^{1/2} tehtävää kirjoittaessa hetkeksi sekaisin.

Terveisin
Ville

Käyttäjän Ville Tengvall kuva

Ville Tengvall

Julkaistu, 8.12.2018 klo 17:15

Hei,

harjoituksien 6 tehtävästä 5 oli löytynyt iso painovirhe. Virhe on nyt korjattu ja kannattaa käydä katsomassa oikea tehtävänanto, sillä muuten tehtävän tekeminen saattaa aiheuttaa harmaita hiuksia.

Pahoittelen painovirhettä, minulla oli mennyt muuttujat x_3 ja (x_1^2+x_2^2)^{1/2} tehtävää kirjoittaessa hetkeksi sekaisin.

Terveisin
Ville

Käyttäjän Ville Tengvall kuva

Ville Tengvall

Julkaistu, 4.12.2018 klo 11:04

Hei,

muistuttaisin teitä kaikkia, jotka aiotte osallistua Vektorianalyysi II:n kurssitenttiin 17.12.2018, että ilmottautuminen tenttiin sulkeutuu 10 päivää ennen tenttiä!

Jos siis aiot osallistua 17.12. järjestettävään kurssitenttiin niin viimeistään nyt on korkea aika ilmottautua siihen.

Terveisin
Ville Tengvall

Aikataulu

Tästä osiosta löydät kurssin opetusaikataulun. Tarkista mahdolliset muut aikataulut kuvauksesta.

PäivämääräAikaOpetuspaikka
To 1.11.2018
10:15 - 12:00
Pe 2.11.2018
12:15 - 14:00
To 8.11.2018
10:15 - 12:00
Pe 9.11.2018
12:15 - 14:00
To 15.11.2018
10:15 - 12:00
Pe 16.11.2018
12:15 - 14:00
To 22.11.2018
10:15 - 12:00
Pe 23.11.2018
12:15 - 14:00
To 29.11.2018
10:15 - 12:00
Pe 30.11.2018
12:15 - 14:00
Pe 7.12.2018
12:15 - 14:00
To 13.12.2018
10:15 - 12:00
Pe 14.12.2018
12:15 - 14:00

Muu opetus

08.11. - 29.11.2018 To 14.15-16.00
13.12. - 13.12.2018 To 14.15-16.00
Ritva Hurri-Syrjänen
Opetuskieli: suomi
06.11. - 11.12.2018 Ti 14.15-16.00
Ritva Hurri-Syrjänen
Opetuskieli: suomi
07.11. - 12.12.2018 Ke 14.15-16.00
Ritva Hurri-Syrjänen
Opetuskieli: suomi
Ritva Hurri-Syrjänen
Opetuskieli: suomi

Materiaalit

Luennot päivittyvät pitkin kurssia. Alta löytyy myös:

1) Ritva Hurri-Syrjäsen vuoden 2017 Vektorianalyysi II -kurssin luentomuistiinpanot.
2) Miika Tuomisen kirjoittamat todistukset käänteiskuvausluauseelle ja implisiittifunktiolauseelle.

Tehtävät

Harjoitus 1

Laskuharjoitus 1 käsittelee kuvauksien differentioituvuutta. Tehtäviä varten on hyvä kerrata luentojen 1 ja 2 materiaali. Lisäksi kannattaa lukea Ritva Hurri-Syrjäsen Vektorianalyysi II -luentomonisteen sivut 5-10.

Ville Tengvall

Harjoitus 2

Laskuharjoitus 2 käsittelee seuraavia aiheita:
1) Differentiaalilaskennan ketjusääntö (tehtävät 2 ja 3)
2) Jatkuvasti differentioituvat kuvaukset (tehtävät 1 ja 3-6)
3) Diffeomorfismit (tehtävät 3 ja 4)
4) Käänteiskuvauslause (tehtävät 3 ja 4)
5) Implisiittifunktiolause (tehtävät 5 ja 6)
Laskuharjoituksia varten on hyvä kerrata luennoilla 1-3 käsitellyt asiat. Lisäksi kannattaa lukea Ritva Hurri-Syrjäsen Vektorianalyysi II -luentomonisteen sivut 5-10 ja 27-30.

Huomatkaa, että tehtävä 3 on muuttunut alkuperäisestä (viimeinen muutos 8.11.2018, klo 7:42). Alkuperäinen tehtävä oli hieman harhaanjohtava, joten päätin korvata sen uudella tehtävällä.

Ratkaisuehdotukset 1

Antti Kujanpää

Harjoitus 3

Harjoituksissa 3 käsitellään pääasiassa pintoja. Tehtävien sisältö on seuraava:

1) Tehtävässä 1 perehdytään homeomorfisuuden käsitteeseen ja tarkastellaan sen suhdetta diffeomorfisuuden käsitteeseen.

2) Tehtävät 2-4 ja 6 käsittelevät pintoihin liittyviä käsitteitä. Jokainen kyseisten tehtävien pinnoista on mahdollista esittää graafipintana. Tästä tiedosta on apua erityisesti tehtävissä 2 ja 4. Lisäksi luennoilla 5 ja 6 esitetyt esimerkit auttavat erityisesti tehtävien 2-4 tekemisessä.

3) Tehtävän 5 tarkoituksena on antaa hyvä kuva siitä miten pallokoordinaattikuvaus käyttäytyy.

Tehtävän 4 kohdassa (b) oli aikaisemmin painovirhe. Aikaisemmassa versiossa pinnan pistettä oli merkitty symbolilla b (vaikka sitä oli tarkoitus merkitä symbolilla y_0). Virhe on korjattu (15.11.2018 klo 9:24).

Tehtävän 3 joukon T määritelämässä pisteen x pitäisi kuulua avaruuteen R^3 (ei avaruuteen R^2). Tämä painovirhe on korjattu (15.11.2018 klo 16:20).

Ville Tengvall

Ratkaisuehdotukset 2

Miika Tuominen

Harjoitus 4

Harjoitus 4 käsittelee pintoja, tasa-arvopintoja ja ääriarvotehtäviä.

1) Tehtäviä 1-2 tullaan tarvitsemaan myöhemmin kurssilla pintaintegraaleja käsiteltäessä. Nämä tehtävät on liitetty tämänkertaisiin laskuharjoituksiin tästä syystä.

2) Tehtävä 3 käsittelee sileitä tasa-arvopintoja.

3) Tehtävässä 4 todistetaan, että jokainen ääriarvopiste on kriittinen piste.

4) Tehtävät 5-6 käsittelevät lokaaleja- ja sidottuja ääriarvotehtäviä.

Tehtävän 4 oollet kaksi painovirhettä korjattu 23.11.2018 klo 10:17.
Tehtävän 1 viimeisestä komponenttifunktiosta puuttui alaindeksi aikaisemmin. (korjattu 26.11. klo 10:21)

Ville Tengvall

Ratkaisuehdotukset 3

Antti Kujanpää

Harjoitus 5

Harjoituksissa 5 on tarkastellaan pääasiassa polkuihin liittyviä käsitteitä. Poikkeuksena on ainoastaan tehtävä 1, jossa tarkoituksena on vielä harjoitella edellisen viikon Lagrangen kertojien menetelmää.

Tämänkertaiset tehtävät tähtäävät enemmänkin määritelmien kertaamiseen ja sisäistämiseen, eikä tehtävien ratkaisemiseksi tarvitse keksiä mitään valtavia ''temppuja''.

Ville Tengvall

Harjoitus 6

Harjoituksissa 6 aiheena ovat reaaliarvoisen funktion käyrä- ja pintaintegraalit.

1) Tehtävissä 1-3 täydennetään luentoa 10 todistamalla siellä esitetyty kolme tulosta (lauseet 18.4, 20.4 ja 20.5). Tehtävää 1 varten kannattaa katsoa myös lausetta 9.3, josta voi olla apua parametriesityksen ominaisuuksia tarkasteltaessa. Tehtävän 3 väite seuraa vähällä vaivalla tehtävästä 2.

2) Tehtävässä 4 harjoitellaan integroimaan reaaliarvoista funktiota polun suhteen.

3) Tehtävät 5 ja 6 koskevat reaaliarvoisen funktion pintaintegraalia.

Nämä harjoitukset ovat kurssin viimeiset. Tästä johtuen viimeisen viikon luentojen 12 ja 13 asioita ei kysytä tentissä.

Tehtävää 5 tarkennettu to 6.12.2018 klo 11:47 lisäämällä oletus 0 < r < R.
Tehtävästä 5 löytyi myös isompi virhe (korjattu: 8.12.2018 klo 17:12). Kalotin pinta-alassa luvun Ala(E) luvun (r/R)^2 tilalla kuuluisi olla (R^2-r^2)/R^2.

Ville Tengvall

Ratkaisuehdotukset 4

Miika Tuominen

Ratkaisuehdotukset 5

Antti Kujanpää

Lisätehtäviä

Oheisessa tiedostossa on 28 ylimääräistä harjoitustehtävää, joita tekemällä voi valmistautua/ harjoitella tenttiä varten.

Tehtävää 2 korjattu 13.12.2018, klo: 16:30.
Tehtävää 12 ja 26 korjattu, sekä tehtäviin 26 ja 27 lisätty vinkit 15.12.2018, klo 21:45.
Tehtävää 18 korjattu 15.12.2018, klo 21:56.
Tehtävän ||x||=2 ehto korvattu ehdolla ||x||=1 16.12.2018, klo 15:46.

Ville Tengvall

Ratkaisuehdotukset 6

Miika Tuominen

Kuvaus

Opintojakso on valinnainen

Suositeltavaa on että opiskelija on suorittanut matematiikan perusopinnot, sekä kurssit Lineraarialgebra II, Vektorianalyysi I sekä Sarjat. Lisäksi Topologia Ia ja Ib ovat hyödyllisiä (niitä voi hyvin suorittaa yhtäaikaa).

Opiskelija ymmärtää opintojakson suoritettuaan euklidisen avaruuden pinnan, ja sen tangentti- ja normaalivektorien käsitteet. Lisäksi hän osaa tutkia funktion (lokaalia) kääntyvyyttä, sekä ymmärtää mitä tarkoitetaan kriittisillä pisteillä. Edelleen, hän hallitsee käyrä- ja pintaintegraalien perusteorian, ja ymmärtää kuinka nämä Greenin ja Stokesin kaavojen välityksellä liittyvät toisiinsa.

After passing the course the student should be familiar with surfaces in Euclidean space, and their tangent and normal vectors. Also, the student should understand how the local invertibility of a function is connected to its derivative matrix, and understand what are critical points of a function. Finally, the student should be familiar with line and surface integrals, and understand how these are related to each other via Green and Stokes formulas.

Toinen tai kolmas opiskeluvuosi.

II periodi.

Opintojakson keskeisiä sisältöjä ovat kriittisten pisteiden luokittelu, Käänteiskuvauslause ja Implisittifunktiolause. Lisäksi perehdytään pintojen teorian alkeisiin sekä todistetaan kurssilla Vektorianalyysi I tutuksi tullut Lagrangen kertoimien menetelmä. Edelleen, määritellään polku- ja pintaintegraalit, sekä tutustutaan Greenin ja Stokesin kaavoihin.

Classification of critical points, Inverse Function Theorem and the Implicit Function Theorem, hypersurfaces of the Euclidean space and their normal and tangent vectors, a rigorous justification of Lagrangian multipliers, line- and surface integrals, Green and Stokes theorems.

Martio, Olli: Vektorianalyysi (Limes ry)

Keskeistä on luennoille osaalistuminen ja erityisesti yksin yai yhteistyössä muiden opiskeljoiden kanssa laskuharjoitustehtävien ratkominen.

Opintojakso arvoidaan loppukokeella. Laskuharjoitustehtävistä saa ylimääräisiä pisteitä loppukokeeseen.

Viikottaiset luennot sekä harjoitusryhmä. Lisäksi itsenäistä työskentelyä.