Kaisa_2012_3_photo by Veikko Somerpuro

Anmäl dig

Meddelande

Bild för Ville Tengvall

Ville Tengvall

Publicerad, 27.2.2020 kl. 8:33

Hei,

Vektorianalyysi II:n yleisen tentin 5.2.2020 tenttitulokset ja tentin ratkaisuehdotukset löytyvät nyt kurssisivuilta.

Omaa vastauspaperia voi tulla tarvittaessa katsomaan toimistollani Exactum B315.

Terveisin
Ville

Bild för Ville Tengvall

Ville Tengvall

Publicerad, 5.1.2020 kl. 22:47

Hei vektorianalyysiläiset!

Kurssitentin 16.12.2019 tulokset löytyvät nyt kurssisivuilta. Käykää katsomassa, että kohdallanne kaikki tiedot ovat oikein. Tarkastakaa erityisesti, että harjoituksien hyvityspisteet on laskettu kohdallanne oikein. Jos huomaatte virheitä, ilmoittakaa niistä minulle mahdollisimman pian.

Jos tentin läpäisyraja ei ole kohdallanne ylittynyt, niin tässä tapauksessa harjoituspisteitä ei ole ilmoitettu suoritustaulukossa.

Harjoituspisteet ovat voimassa vielä 5.2.2020 järjestettävässä yleisessä tentissä. Tämä koskee myös 16.12.2019 järjestetyn tentin uusijoita. Tätä myöhemmissä tenteissä harjoituspisteistä ei ole enää hyötyä.

Huomatkaa myös, että 18.3.2020 on lisätty yksi kurssin yleinen tenttipäivä.

Jään 7.1.2020 isyysvapaalle. Jos haluatte nähdä oman tenttipaperinne, niin ilmoittakaa siitä minulle sähköpostilla. Järjestän teille tässä tapauksessa jonkin tavan nähdä tenttipaperinne. En vastaa kyseistä aihetta koskeviin viesteihinne, vaan ilmoitan yleisellä viestillä keneltä voitte mennä pyytämään tenttipaperianne nähtäväksi, kun olen saanut järjestettyä asian tarvittaessa.

Ystävällisin terveisin
Ville Tengvall

Bild för Ville Tengvall

Ville Tengvall

Publicerad, 3.12.2019 kl. 16:26

Hei vektorianalyysiläiset!

Viimeset harjoitukset (harjoitus 6) löytyvät nyt kurssisivulta.

Lisäksi: kurssin aikana on kyselty muutamaan otteeseen, että onko 16.12.2019 tentti ainoa tentti, jossa harjoituspisteet ovat voimassa. Aiemmin ilmoitin jo luennolla, että olen päättänyt ottaa harjoituspisteet käyttöön myös 5.2.2020 tentissä, koska osa tenttijöistä ei pääse 16.12. tenttiin.

Muistakaa myös, että jos aiotte osallistua 16.12. tenttiin, niin nyt olisi korkea aika ilmottautua siihen, ettei ilmottautumisaika ehdi umpeutua!

Terveisin
Ville

Bild för Ville Tengvall

Ville Tengvall

Publicerad, 26.11.2019 kl. 15:53

Hei vektorianalyysiläiset!

5. harjoitukset löytyvät nyt kurssisivuilta. Kaikissa tehtävissä harjoitellaan tällä kertaa integrointitekniikkaa.

Tämän torstain luennolla on tarkoitus esitellä Fubinin lause ja muuttujanvaihtolause, sekä käydä mahdollisimman paljon esimerkkejä integraalien laskemiseen liittyen, jotta harjoitustehtävien tekeminen sujuisi vaivatta.

Jos haluaa päästä ratkomaan harjoituksien 5 tehtäviä jo tässä vaiheessa, niin se onnistuu selvittämällä (esim. Ritvan vuoden 2017 ministeesta) kuinka Fubinin lausetta ja muuttujanvaihtolausetta sovelletaan.

Terveisin
Ville

Bild för Ville Tengvall

Ville Tengvall

Publicerad, 19.11.2019 kl. 15:28

Hei vektorianalyysiläiset!

4. harjoitukset löytyvät nyt kurssisivuilta. Tehtävät 1-3 käsittelevät Lagrangen kertojien menetelmää, joten niiden tekeminen onnistuu jo edellisen viikon luentojen pohjalta.

Jos haluaa alkaa tekemään jo tässä vaiheessa myös tehtäviä 4-6, niin ainakin osin pääsee vauhtiin lukemalla Ritva Hurri-Syrjäsen vuoden 2017 Vektorianalyysi II:n luentomuistiinpanoista Riemann-integraaleja käsitteleviä osioita.

-Ville

Bild för Ville Tengvall

Ville Tengvall

Publicerad, 12.11.2019 kl. 13:01

Hei vektorianalyysiläiset!

Harjoitus 3 löytyy nyt kurssisivuilta.

Terveisin
Ville

Bild för Ville Tengvall

Ville Tengvall

Publicerad, 5.11.2019 kl. 16:12

Hei,

vektorianalyysin 2. harjoituksen kysymykset ovat nyt saatavilla kurssisivulla. Tehtävistä pääosa käsittelee implisiittifunktiolauseen käyttöä ja niiden pitäisi olla melko suoraviivaisia.

Implisiittifunktiolauseen soveltaminen noudattaa tavallisesti melko tavanomaista kaavaa, jonka opittua lauseen soveltaminen käy yleensä helposti. Kannattaa siis ratkomossa pyytää rohkeasti apua lauseen käytössä, sillä ratkomon opettajat voivat auttaa tunnistamaan lauseen käyttöön liittyviä eri vaiheita.

Terveisin
Ville

Tidsschema

I den här delen hittar du kursens tidsschema. Kontrollera eventuella andra tider i beskrivning.

DatumTidPlats
tors 31.10.2019
10:15 - 12:00
fre 1.11.2019
12:15 - 14:00
tors 7.11.2019
10:15 - 12:00
fre 8.11.2019
12:15 - 14:00
tors 14.11.2019
10:15 - 12:00
fre 15.11.2019
12:15 - 14:00
tors 21.11.2019
10:15 - 12:00
fre 22.11.2019
12:15 - 14:00
tors 28.11.2019
10:15 - 12:00
fre 29.11.2019
12:15 - 14:00
tors 5.12.2019
10:15 - 12:00
tors 12.12.2019
10:15 - 12:00
fre 13.12.2019
12:15 - 14:00

Övrig undervisning

04.11. - 09.12.2019 mån 12.15-14.00
Undervisningsspråk: Finska
08.11. - 13.12.2019 fre 14.15-16.00
Undervisningsspråk: Finska
06.11. - 11.12.2019 ons 14.15-16.00
Undervisningsspråk: Finska

Material

Föreläsningsmaterial

Uppgifterna

Harjoitus 1

Harjoituksissa 1 opetellaan käänteiskuvauslauseen käyttöä. Jos tehtäviä haluaa alkaa tekemään mahdollisimman pian, niin se onnistuu opiskelemalla käänteiskuvauslauseen aikaisempien vuosien luennoista. Tehtäväkohtaisia huomioita:

T1 ja T2) Napa- ja sylinterikoordinaattikuvaukset ovat monien integraali- ja differentiaalilaskennan sovellutuksien kannalta erittäin tärkeitä, sillä niiden avulla voidaan yksinkertaistaa monia haastavannäköisiä laskuja muuttamalla kyseisten kuvauksien avulla annettua koordinaattisysteemiä. Tästä johtuen näiden kuvauksien käyttöä kannattaa opetella mahdollisimman paljon.

T3) Tehtävän 3 tarjoamalla idealla voi rakentaa melko monipuolisia esimerkkejä homeomorfisista kuvauksista. Kyseiseen ideaan pohjautuen voi muodostaa myös homeomorfismeja, jotka eivät ole missään differentioituvia.

T4) Tehtävän 4 kuvaus on muunnelma epälineaarisessa elastiikassa ja geometrisessa funktioteoriassa esiintyvästä "John Ballin kuvauksesta", jota tarvitaan kuvauksien mahdolliseen epäinjektiivisyyteen johtavien ominaisuuksien tarkastelussa.

T5) Tehtävässä 5 havaitaan eräs erittäin tärkeä diffeomorfismeille voimassa oleva ominaisuus, jonka mukaan diffeomorfismin Jacobi on nollasta poikkeava kaikkialla. Toisaalta on helppoa osoittaa, että diffeomorfismin Jacobi on jatkuva. Kun nämä kaksi tietoa yhdistää Bolzanon lauseen kanssa voi huomata, että esim. pallossa määritellyn diffeomorfismin Jacobi ei voi muuttaa merkkiä.

T6) Tehtävässä 6 tarkastellaan niin kutsuttua vääntöfunktiota, jolla on keskeinen rooli esimerkiksi kvasikonformisten ja kvasisäännöllisten kuvausten tutkimuksessa, sekä äärellisen väännön kuvauksien tutkimuksessa.

Ville Tengvall

Harjoitus 2

Harjoituksissa 2 harjoitellaan pääasiassa implisiittifunktiolauseen käyttöä (tehtävät 1-4). Lisäksi tehtävissä 5 ja 6 tarkastellaan yksinkertaisia graafipintoja.

Tämänkertaiset tehtävät ovat melko suoraviivaisia ja niiden pääasiallisena tarkoituksena on toiston kautta opettaa opiskelijaa soveltamaan implisiittifunktiota yhtälöiden ja yhtälöryhmien ratkaisuiden analysoimisessa.

*) Kysymyksien muotoilua korjattu 14.11. klo 6:36: tehtävissä 3 ja 4 termi "differentiaali" korvattu "derivaatalla".

Ratkaisuehdotukset 1

Harjoituksien 1 ratkaisuehdotukset.

Janne Nurmela ja Miika Tuominen

Harjoitus 3

Harjoituksen 3 tehtävät käsittelevät sileitä pintoja ja niihin liittyviä käsitteitä:

T1) Tehtävässä 1 osoitetaan yksityiskohtaisesti, että jatkuvan kuvauksen graafi määrittelee alkeispinnan.

T2) Tehtävän 2 tarkoituksena on näyttää konkreettisen esimerkin kautta miksi C^1-ehto ei vielä yksin riitä määrittelemään sileitä pintoja mielekkäällä tavalla.

T3) Luennoilla todettiin, että sileiden pintojen tangenttiavaruus (ja siitä polveutuvat muut määritelmät) eivät riipu lokaalin parametriesityksen valinnasta. Tehtävässä 3 tehtävä todistus on ensimmäinen askel tämän väitteen todistamiseksi. Yksinkertaisuuden vuoksi tehtävässä on käsitelty ainoastaan tapaus, jossa meillä on 2-ulotteinen pinta 3-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa.

T4-T6) Tehtävissä 4-6 harjoitellaan tangentti- ja normaalitasojen laskemista sileille pinnoille.

Ratkaisuehdotukset 2

Harjoituksien 2 ratkaisuehdotukset.

Janne Nurmela ja Miika Tuominen

Harjoitus 4

Harjoituksissa 4 käsitellään Lagrangen kertojien menetelmää ja Riemann-integraaleja.

Tehtävät 1-3 on tarkoitus tehdä Lagrangen kertojien menetelmää soveltaen.

Tehtävät 4-6 käsittelevät Riemann-integraaleihin liittyviä käsitteitä ja esimerkkejä. Erityisesti tehtävät 4 ja 6 kannattaa opiskella hyvin, sillä niiden ymmärtämisestä on apua esimerkiksi mitta- ja integraaliteorian kursseilla.

Ratkaisuehdotukset 3

Harjoituksien 3 ratkaisuehdotukset.

Janne Nurmela ja Miika Tuominen

Harjoitus 5

Kaikissa harjoituksen 5 tehtävissä harjoitellaan integrointitekniikkaa. Tehtävissä on tarkoitus Fubinin lausetta ja muuttujanvaihtolausetta soveltamalla palauttaa integraalit 1-ulotteisiin integraalilaskuihin.

Osassa tehtäviä saattaa joutua myös soveltamaan 1-ulotteista osittaisintegrointia, joten kyseinen tulos on hyvä kerrata.

Tehtävää 5 (c) korjattu to 28.11.2019 ~klo 8:04.

Ratkaisuehdotukset 4

Harjoituksien 4 ratkaisuehdotukset.

Janne Nurmela ja Miika Tuominen

Harjoitus 6

Tällä kertaa harjoitustehtävät käsittelevät:

1) Polkuja ja käyräintegraaleja (tehtävät 1-3). Näitä tehtäviä voi alkaa tekemään jo edellisen perjatain luentojen pohjalta.

2) Pintaintegraaleja (tehtävät 4-6), joista puhutaan tämän torstain luennolla. Jos haluaa alkaa ratkomaan tehtäviä 4-6 jo ennen torstain luenoa, niin tämä onnistuu opiskelemalla edellisen vuoden monisteesta luennon 11 sisällön.

Ratkaisuehdotukset 5

Harjoituksien 5 ratkaisuehdotukset.

Janne Nurmela ja Miika Tuominen

Ratkaisuehdotukset 6

Harjoituksien 6 ratkaisuehdotukset.

Janne Nurmela ja Miika Tuominen

Beskrivning

Opintojakso on valinnainen

Suositeltavaa on että opiskelija on suorittanut matematiikan perusopinnot, sekä kurssit Lineraarialgebra II, Vektorianalyysi I sekä Sarjat. Lisäksi Topologia Ia ja Ib ovat hyödyllisiä (niitä voi hyvin suorittaa yhtäaikaa).

Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa määrittää yksinkertaisia pinta-aloja ja tilavuuksia integroimalla, sekä hallitsee käyrä- ja pintaintegraalien perusteorian ymmärtäen, kuinka nämä Greenin ja Stokesin kaavojen välityksellä liittyvät toisiinsa. Lisäksi opiskelija osaa tarkastella yhtälöryhmien lokaaleiden ratkaisuiden olemassaoloa implisiittifunktiolauseen avulla ja osaa ratkaista yksinkertaisia sidottuja ääriarvotehtäviä Lagrangen kertojien menetelmällä.

Toinen tai kolmas opiskeluvuosi.

II periodi.

Opintojakso sisältää useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa ja integraalilaskennan perusteet, Differentiaalilaskennasta käsitellään kääntieskuvauslause, implisiittifunktiolause sekä Lagrangen kertojien menetelmä sidottujen ääriarvotehtävien ratkaisemisessa. Kurssin keskeistä sisältöä on usean muuttujan funktioiden integraalilaskennan perusteet euklidisessa avaruudessa, mukaan lukien polku- ja pintaintegraalit. Lisäksi käsitellään klassisia integraalilaskennan kaavoja, kuten Greenin lause tasossa sekä sen korkeampiulotteiset vastineet, gaussin ja Stokesin lauseet, jotka ovat fundamentaalisia myös esim. mekaniikassa ja sähköopissa.

Martio, Olli: Vektorianalyysi (Limes ry)

Keskeistä on luennoille osaalistuminen ja erityisesti yksin yai yhteistyössä muiden opiskeljoiden kanssa laskuharjoitustehtävien ratkominen.

Opintojakso arvoidaan loppukokeella. Laskuharjoitustehtävistä saa ylimääräisiä pisteitä loppukokeeseen.

Viikottaiset luennot sekä harjoitusryhmä. Lisäksi itsenäistä työskentelyä.